高斯消元法求逆矩阵要求矩阵为满秩方阵，通过同步行变换将[A|I]化为[I|A⁻¹]；实现时须部分选主元防除零，且行变换顺序不可颠倒。

高斯消元法求逆矩阵的核心逻辑

只有方阵才可能有逆矩阵，且必须满秩（行列式不为零）。高斯消元法的本质是把原矩阵 A 通过初等行变换变成单位矩阵 I，同时对增广矩阵右侧的 I 施加完全相同的行变换，最终右侧就变成 A⁻¹。关键不是“解方程”，而是“同步做行变换”。

用 vector> 实现时的常见错误

很多人写完发现结果全是 nan 或 inf，大概率出在以下环节：

• 没判断主元是否为零或接近零，直接除 —— 必须做**部分选主元**（即当前列中找绝对值最大的行交换）
• 行变换顺序写反：先用第 i 行消第 j 行，但没确保 i 或没跳过自身，导致把已归一化的主元又破坏了
• 浮点比较用 == 0.0 判断奇异，应改用 abs(pivot)
• 没初始化增广矩阵右侧为单位阵，或单位阵构造错（比如 mat[i][j] = (i == j) 写成 mat[i][i] = 1 后忘了设其余为 0）

一个安全可用的 C++ 实现片段

以下代码只处理 double 类型方阵，含选主元和数值容错，可直接嵌入项目：

#include 
#include 
#include 
#include 
using Matrix = std::vector>;
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Matrix inverse(const Matrix& A) {
int n = A.size();
Matrix aug(n, std::vector(2 * n, 0.0));
// 构造增广矩阵 [A | I]
for (int i = 0; i zuojiankuohaophpcn n; ++i) {
    for (int j = 0; j zuojiankuohaophpcn n; ++j) {
        aug[i][j] = A[i][j];
    }
    aug[i][n + i] = 1.0;
}

// 高斯-约旦消元
for (int col = 0; col zuojiankuohaophpcn n; ++col) {
    // 选主元：找当前列中绝对值最大的行
    int pivot_row = col;
    for (int i = col + 1; i zuojiankuohaophpcn n; ++i) {
        if (std::abs(aug[i][col]) youjiankuohaophpcn std::abs(aug[pivot_row][col])) {
            pivot_row = i;
        }
    }
    if (std::abs(aug[pivot_row][col]) zuojiankuohaophpcn 1e-12) {
        throw std::runtime_error("Matrix is singular");
    }
    // 交换行
    aug[col].swap(aug[pivot_row]);

    // 归一化当前行（主元变 1）
    double pivot = aug[col][col];
    for (int j = 0; j zuojiankuohaophpcn 2 * n; ++j) {
        aug[col][j] /= pivot;
    }

    // 消去该列其他行
    for (int i = 0; i zuojiankuohaophpcn n; ++i) {
        if (i == col) continue;
        double factor = aug[i][col];
        for (int j = 0; j zuojiankuohaophpcn 2 * n; ++j) {
            aug[i][j] -= factor * aug[col][j];
        }
    }
}

// 提取逆矩阵（右半部分）
Matrix inv(n, std::vectorzuojiankuohaophpcndoubleyoujiankuohaophpcn(n));
for (int i = 0; i zuojiankuohaophpcn n; ++i) {
    for (int j = 0; j zuojiankuohaophpcn n; ++j) {
        inv[i][j] = aug[i][n + j];
    }
}
return inv;
}
性能与精度注意事项
这个实现适合中小规模（n ≤ 500）矩阵。更大的矩阵建议用 LAPACK（如 dgetrf + dgetri）或 Eigen 库：MatrixXd::inverse()。手写高斯消元容易因累积舍入误差导致逆矩阵验证失败（即 A * A⁻¹ 不够接近 I），尤其当矩阵条件数大时。如果只需要解线性方程组 Ax = b，别真算逆矩阵 —— 直接 LU 分解后前代后代更快更稳。